Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB=2，BC與⊙O交于點(diǎn)D，∠ABC=30°，BC=2

3

．
（1）求證：BD=CD；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）求出∠ADB=90°，求出BD，求出CD，即可得出答案；
（2）連接OD，求出OD∥AC，推出DE⊥OD，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，由勾股定理得：BD=

3

，
∵BC=2

3

，
∴CD=2

3

-

3

=

3

，
即BD=CD．

（2）證明：連接OD，
∵BD=CD，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OC⊥DE，
∵OD為半徑，
∴直線DE是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的中位線的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好．