Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂．0），其中x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，3），且x₁，x₂滿足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥X軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，進而求出b的值，進而利用配方法得出二次函數(shù)的頂點坐標即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進而表示出P點坐標，利用S=OA•OC+（PM+OC）•OM結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出最值以及P點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點C（0，3），
∴當x=0時，c=3．
又∵x₁，x₂滿足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，
代入得：2b-3-1=0，
得b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²，+2x+3=-（x-1）²+4
∴頂點D的坐標是（1，4）；

（2）令y=0，得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
故點A的坐標是（1，0），B的坐標是（3，0）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0），
∵直線y=kx+n過點B（3，0），D（1，4），
∴，
解得：，
∴直線BD的解析式為y=-2x+6．
∵P點在線段BD上，
∴設(shè)點P的坐標為（m，-2m+6）．
又∵PM⊥X軸于點M，
∴PM=-2m+6，OM=m．
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
設(shè)四邊形PMAC的面積為S，則
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×1×3+（-2m+6+3）•m
=-m²+m+=-（m-）²+
∵1＜＜3，
∴當m=時，四邊形PMAC的面積最大，最大面積為，此時，P點坐標（，）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值問題等知識，根據(jù)已知表述出P點坐標是解題關(guān)鍵．