【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)C(0,1),頂點(diǎn)為Q(2,3),點(diǎn)D在x軸正半軸上,且OD=OC.
(1)求直線CD的解析式;
(2)求拋物線的解析式;
(3)將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,求證:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的條件下,若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn):在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x+1;(2)y=x2+2x+1;(3)證明見(jiàn)解析;(4)存在.為.
【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出直線解析式;
(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(3)關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形;
(4)如圖所示,作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″,連接C′C″,交OD于點(diǎn)F,交QE于點(diǎn)P,則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長(zhǎng)最。鐖D③所示,利用勾股定理求出線段C′C″的長(zhǎng)度,即△PCF周長(zhǎng)的最小值.
(1)C(0,1),D(1,0)
∴直線CD的解析式為;
(2)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,
易得y=(x-2)2+3=x2+2x+1
(3)OC=OD,OC⊥OD,∴△OCD為等腰直角三角形,
對(duì)稱軸x=2與CE交于點(diǎn)M,M(2,1)
易知△QMC與△QME是等腰直角三角形
∴△ CQE也是等腰直角三角形
∴△CEQ∽△CDO
(4)存在。
如圖作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″,連接C′C″,交OD于點(diǎn)F,交QE于點(diǎn)P,則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形,由軸對(duì)稱性得:
PC=PC′ CF=C″F
C,C′關(guān)于直線QE對(duì)稱
C′(4,5)
又C″(-1,0) C′C″=
∴△PCF的周長(zhǎng)最小值是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是2019年5月17日至31日某市的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖.
(說(shuō)明:空氣質(zhì)量指數(shù)為0-50、51-100、101-150分別表示空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染)
有如下結(jié)論:
①在此次統(tǒng)計(jì)中,空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)少于輕度污染的天數(shù);
②在此次統(tǒng)計(jì)中,空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)占;
③20,21,22三日的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差小于26,27,28三日的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差.
上述結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①B.①③C.②③D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下,則說(shuō)明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是( )
A.(S.S.S.) B.(S.A.S.) C.(A.S.A.) D.(A.A.S.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)求證:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如圖2,若P為線段EC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形,使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上,定點(diǎn)M、N落在線段AC上,當(dāng)線段PE的長(zhǎng)為何值時(shí),矩形PQMN的面積最大?并求出其最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),OD⊥BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BE.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F,若DF=1,BC=2,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線相交于點(diǎn)是對(duì)角線上的兩點(diǎn),給出下列四個(gè)條件:①;②;③;④.其中能判定四邊形是平行四邊形的有( )
A.①B.①④C.①③④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】發(fā)現(xiàn):
任意三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是的倍數(shù).
驗(yàn)證:
(1)的結(jié)果是的幾倍?
(2)設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)為,寫出它們的平方和,并說(shuō)明是的倍數(shù).
延伸:
(3)任意三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和,設(shè)中間一個(gè)為,被整除余數(shù)是幾呢?請(qǐng)寫出理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y= 2+b+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若M是拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn),N是拋物線的頂點(diǎn),求MN的長(zhǎng);
(3)設(shè)點(diǎn)P是(1)中的拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在滿足S△PAB=8的點(diǎn)P?如存在請(qǐng)求出P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1 備用圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為12 ,點(diǎn)B在點(diǎn)A右邊,且OA2OB.
(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn) B 表示的數(shù);
(2)點(diǎn) M 為數(shù)軸上一點(diǎn),若 AM BM 4 ,求出點(diǎn) M 表示的數(shù).
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