Question

如圖，在邊長為a的正方形中，E、F分別為邊BC和CD上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F運(yùn)動時，AE和EF保持垂直．則：
①△ABE∽△FCE；
②當(dāng)BE=

1

2

a時，梯形ABCF的面積最大；
③當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到BC中點(diǎn)時，Rt△ABE∽Rt△AEF；
④當(dāng)Rt△ABE∽Rt△AEF時，cos∠AFE=

1

2

其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，證明∠B=∠C，∠BAE=∠CEF，得到①正確；證明S_梯形ABCF=-

1

2

λ2+

1

2

λa+

1

2

a2，由-

1

2

＜0，得到當(dāng)λ=-

1 2 a

2×(- 1 2 )

=

1

2

a時，梯形ABCF的面積最大，得到②正確；證明

AB

BE

=

AE

EF

，由∠B=∠AEF=90°，得到Rt△ABE∽Rt△AEF，故③正確；證明cos∠AFE=cos∠AEB=

BE

AE

≠

1

2

，故④不正確．

解答：解：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，且AE⊥EF，
∴∠B=∠AEF=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEF，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△FCE，故①正確；
設(shè)BE=λ，則EC=a-λ；
∵△ABE∽△FCE，
∴

AB

CE

=

BE

CF

，故CF=-

λ2

a

+λ；
∴S_梯形ABCF=

1

2

(-

λ2

a

+λ+a)a
=-

1

2

λ2+

1

2

λa+

1

2

a2，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)λ=-

1 2 a

2×(- 1 2 )

=

1

2

a時，梯形ABCF的面積最大．
故②正確．
∵△ABE∽△ECF，
∴

AB

CE

=

AE

EF

；
若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則BE=CE，
∴

AB

BE

=

AE

EF

，而∠B=∠AEF=90°，
∴Rt△ABE∽Rt△AEF，故③正確；
∴∠AFE=∠AEB，
∴cos∠AFE=cos∠AEB=

BE

AE

≠

1

2

，
故④不正確．
故答案為①②③．

點(diǎn)評：該題以正方形為載體，以正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)的考查為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．