Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為x軸正半軸上的一點(diǎn)，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，若A（-1，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，

3

)．

（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖，P為

BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CQ平分∠PCD．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ的長(zhǎng)度是否改變？若不變，請(qǐng)求其值；若改變，請(qǐng)求出其變化范圍；

（3）如圖，以A為圓心AC為半徑作⊙A，P為⊙A上不同于C、D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC交⊙M于點(diǎn)Q，K為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，現(xiàn)給出兩個(gè)結(jié)論：①

CK

PQ

的值不變；②線段OK的長(zhǎng)度不變．其中有且只有一個(gè)結(jié)論正確，選擇正確的結(jié)論證明并求其值．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，連接MC，在Rt△COM中，運(yùn)用勾股定理可將⊙M的半徑求出，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可將圓心M的坐標(biāo)求出；
（2）作輔助線，連接AC，根據(jù)圓周角推論，等弧所對(duì)的圓周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2為定值；
（3）線段OK的長(zhǎng)度不變，作輔助線，連接PD、QD、KD，可得：⊙A、⊙M為等圓，

DAC

=

DMC

，∠DPQ=∠DQP，△DPQ為等腰三角形，又K為PQ的中點(diǎn)，可得：DK⊥PQ，故在Rt△DKC中，OK為斜邊的中線．

解答：解：（1）連接MC，設(shè)⊙M的半徑為R
∵A（-1，0），C（0，

3

），OC²+OM²=MC²
∴(

3

)2+(R-1)2=R2
解得R=2．
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）AQ不變，AQ=AC=2．
連接AC，∵∠ACD=∠P
又∵CQ平分∠OCP
∴∠PCQ=∠OCQ
∴∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P
即：∠ACQ=∠AQC
∴AQ=AC=2．

（3）OK不變，OK=

3

．
連接PD、QD、KD，
∵AC=

( 3 )2+12

=2
∴⊙A的半徑為2
∵⊙A的半徑為2，⊙M的半徑為2
∴⊙A、⊙M為等圓
∴

DAC

=

DMC

∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP
∵K為PQ的中點(diǎn)
∴DK⊥PQ
∵OC=OD
∴OK=

1

2

CD=OC=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查垂徑定理的應(yīng)用．解此類問(wèn)題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．