Question

已知：如圖，PM是⊙O的切線，M為切點(diǎn)，PAB和PCD均是⊙O的割線，它們與⊙O的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，且AB•PD=BC•AD．
求證：（1）∠DAP=∠BAC；
（2）△PAC∽△DAB；
（3）PM²-PA²=AC•AD．

Answer 1

證明：（1）連接AC，
∵AB•PD=BC•AD，
∴=，
又∵∠PDA=∠PBC，
∴△DAP∽△BAC，
∴∠DAP=∠BAC；

（2）由（1）∠DAP=∠BAC．
又∵∠PAC=∠PAD-∠CAD．
∠BAD=∠BAC-∠CAD．
∴∠PAC=∠BAD，
而四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ACP=∠DBA．
∴△PAC∽△DAB；

（3）由（2）△PAC∽△DAB，
∴=，
∴PA•AB=AC•AD
又AB=PB-PA，
∴PA•AB=PA（PB-PA）=AC•AD，
即PA•PB-PA²=AC•AD，
又PM為⊙O的切線，PAB為⊙O的割線．
∴PM²=PA•PB，
∴PM²-PA²=AC•AD．
分析：（1）連接AC，證△DAP∽△BAC，即可推出∠DAP=∠BAC；
（2）推出∠PAC=∠BAD和∠ACP=∠DBA根據(jù)相似三角形的判定推出△PAC∽△DAB即可；
（3）根據(jù)相似得出=，推出PA•AB=AC•AD，推出PA•PB-PA²=AC•AD，根據(jù)切割線定理得出PM²=PA•PB，代入即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切割線定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．