Question

如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，并與AB延長線交于點E．

（1）求證：∠1=∠2．

（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

（1）見解析；（2）AG=6．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠2+∠ODC=90°，根據(jù)OC=OD可得∠C=∠ODC，結(jié)合條件OC⊥AB，利用互余的關(guān)系可證∠1=∠2；（2）根據(jù)條件OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，可得OF=1，由（1）可得EF=ED，設(shè)DE=x，在Rt△ODE中，由勾股定理可得x=4，然后利用Rt△EOD∽Rt△EGA，可求出AG=6．

試題解析：（1）證明：連接OD，∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2； 4分

（2）【解析】
∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4， 7分

∴DE=4，OE=5，∵AG為⊙O的切線， ∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴=，即=，∴AG=6． 10分

考點：1.切線的性質(zhì)；2.互余；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì).