Question

【題目】如圖，已知對(duì)稱(chēng)軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15，求線段CD的長(zhǎng)度；

（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），；（2）CD=或；（3）的坐標(biāo)為或或或.

【解析】

（1）將A、C坐標(biāo)代入拋物線，結(jié)合拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;

（2）求出直線BC的解析式為，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別以B、C、P為直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類(lèi)討論，再運(yùn)用勾股定理得到方程式進(jìn)行求解.

解：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=-1,A（1,0），得出B為(-3,0)

依題意得：，解之得：，

∴拋物線的解析式為.

（2）∵對(duì)稱(chēng)軸為，且拋物線經(jīng)過(guò)，∴

∴直線BC的解析式為. ∠CBA=45°

∵直線BD和直線BC的夾角為15， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°

在△BOD，，BO=3

∴DO=或，∴CD=或.

（3）設(shè)，又，，

∴，，，

①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，

②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，

③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：

，.

綜上所述的坐標(biāo)為或或或.