Question

（2012•宿遷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l₁：y=

1

2

x與直線l₂：y=-x+6相交于點M，直線l₂與x軸相交于點N．
（1）求M，N的坐標．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動，設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S，移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時開始結(jié)束）．直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要給出解答過程）．
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）解兩條直線的解析式組成的方程組的解，即可求得交點M的坐標，在y=-x+6中，令y=0即可求得點N的橫坐標，則N的坐標即可求解；
（2）分成0≤t≤1，1＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤6，6＜t≤7五種情況，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式，即可求得函數(shù)的解析式；
（3）分別求得每種情況下函數(shù)的最值或函數(shù)值的范圍，即可確定．

解答：解：（1）解方程組

y= 1 2 x y=-x+6

，
解得：

x=4 y=2

，
則M的坐標是：（4，2）．
在解析式y(tǒng)=-x+6中，令y=0，解得：x=6，則N的坐標是：（6，0）．

（2）當0≤t≤1時，重合部分是一個三角形，OB=t，則高是

1

2

t，則面積是

1

2

×t•

1

2

t=

1

4

t²；
當1＜t≤4時，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是：

1

2

t，上底是：

1

2

（t-1），根據(jù)梯形的面積公式可以得到：S=

1

2

[

1

2

t+

1

2

（t-1）]=

1

2

（t-

1

2

）；
當4＜t≤5時，過M作x軸的垂線，則重合部分被垂線分成兩個直角梯形，兩個梯形的下底都是2，上底分別是：-t+6和

1

2

（t-1），根據(jù)梯形的面積公式即可求得
S=-

3

4

t²+

13

2

t-

49

4

；
當5＜t≤6時，重合部分是直角梯形，與當1＜t≤4時，重合部分是直角梯形的計算方法相同，則S=

1

2

（13-2t）；
當6＜t≤7時，重合部分是直角三角形，則與當0≤t≤1時，解法相同，可以求得S=

1

2

（7-t）²．

則：S=

1 4 t2(0≤t≤1) 1 2 (t- 1 2 )(1＜t≤4) - 3 4 t2+ 13 2 t- 49 4 (4＜t≤5) 1 2 (13-2t)(5＜t≤6) 1 2 (7-t)2(6＜t≤7)

；

（3）在0≤t≤1時，函數(shù)值y隨t的增大而增大，則當t=1時，取得最大值是：

1

4

；
當1＜t≤4，函數(shù)值y隨t的增大而增大，則當t=4時，取得最大值是：

1

2

（4-

1

2

）=

7

4

；
當4＜t≤5時，是二次函數(shù)，對稱軸t=

13

3

，則最大值是：-

3

4

×（

13

3

）²+

13

2

×

13

3

-

49

4

=

11

6

；
當5＜t≤6時，函數(shù)值y隨t的增大而減小，無最大值；
同理，當6＜t≤7時，y隨t的增大而減小，無最大值．
總之，函數(shù)的最大值是：

11

6

．

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要涉及聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，面積求解，求分段函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的增減性，正確表示出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．