Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角它的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，求證：MN=BM+CN．

Answer 1

證明：如圖，延長NC到E，使CE=BM，連接DE，
∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，
∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，
又∵BM=CE，BD=CD，
∴△CDE≌△BDM，
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∵在△DMN和△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN．
分析：利用旋轉(zhuǎn)法將△BDM旋轉(zhuǎn)到△CDE的位置，可證△CDE≌△BDM，再利用角的相等關(guān)系，邊的相等關(guān)系證明△DMN≌△DEN，利用全等的對(duì)應(yīng)邊相等證題．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．