Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點(diǎn)，AE=1，M為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，AM=a（a為大于0的常數(shù)），直線EM與直線CD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EM，交直線BC于G．

（1）若M為邊AD中點(diǎn)，求證：△EFG是等腰三角形；

（2）若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，求線段MG的長(zhǎng)；

（3）請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數(shù)值．

Answer 1

長(zhǎng)度，然后用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S，指出S的最小整數(shù)值．

又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，∴∠AME=∠MCD.

∵∠MAE=∠CDM=90°，∴△MAE∽△CDM. ∴，即，解得a=1或3.

代入CM=得CM=或.

∵點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，∴MG=或.

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在AD上時(shí)，如答圖2，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC交BC于點(diǎn)N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a。∴，MD=AD-AM=4-a.

∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，∴△MAE∽△MDF. ∴，即.

∴.∴.

∵AD∥BC，∴∠MGN=∠DMG.

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，∴∠AME=∠DMG. ∴∠MGN=∠AME.

②當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，∴，MD=a-4.

∵DC∥AB，∴△MAE∽△MDF.∴，即.∴.

∴.

考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.矩形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4. 等腰三角形的判定和；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用.