Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B、與y軸相交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為M、對稱軸與x軸相交于點(diǎn)N．
（1）用b的代數(shù)式表示頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)tan∠MAN=2時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），

∴0=﹣ ×4+2b+c

∴c=2﹣2b

∴y=﹣ x2+bx+c=﹣ x2+bx+2﹣2b

=﹣ （x﹣b）2+

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（b， ）

（2）解：∵tan∠MAN= =2

∴MN=2AN．

∵M(jìn)（b， ）

∴N（b，0），

∴MN= （b﹣2）2

①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，AN=2﹣b，

∴ （b﹣2）2=2（2﹣b）

∴b=﹣2．不符合題意．

②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，AN=b﹣2，

∴ （b﹣2）2=2（b﹣2）

∴b=6

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+6x﹣10

∴點(diǎn)C（0，﹣10），

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN對稱，

∴點(diǎn)B（10，0）．

∵OB=OC=10，

∴BC=10，∠OBC=45°，

過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，

∵AB=8，∴AH=BH=4 ，∴CH=6

∴tan∠ACB= = =

【解析】（1）由于二次函數(shù)過點(diǎn)A，從而可知c=2﹣2b，然后將c代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）根據(jù)解析式可求出MN= （b﹣2）2，由于點(diǎn)B的位置不確定，需要分情況討論，求出b的值，從而求出二次函數(shù)的解析式，然后求出B、C的坐標(biāo)后即可求出tan∠ACB．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識，掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．