【題目】如圖,一次函數(shù)yx2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,點D的坐標(biāo)為(﹣1,0),二次函數(shù)yax2+bx+ca≠0)的圖象經(jīng)過A,B,D三點.

1)求二次函數(shù)的解析式;

2)如圖1,已知點G1,m)在拋物線上,作射線AG,點H為線段AB上一點,過點HHEy軸于點E,過點HHFAG于點F,過點HHMy軸交AG于點P,交拋物線于點M,當(dāng)HEHF的值最大時,求HM的長;

3)在(2)的條件下,連接BM,若點N為拋物線上一點,且滿足∠BMN=∠BAO,求點N的坐標(biāo).

【答案】1yx2x2;(22;(3(1,﹣3)(,)

【解析】

1)二次函數(shù)經(jīng)過D(﹣10),B40),可以假設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax+1)(x4),把A0,﹣2)代入得到a即可解決問題.

2)如圖1中,設(shè)Hx0,x02),且(0≤x0≤4),構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

3)如圖2中,過點BBTMNT.由題意BM,BT1,MT2,設(shè)Tm,n),利用兩點間距離公式構(gòu)建方程組求出mn,再求出直線MN的解析式,構(gòu)建方程組確定解得N的坐標(biāo)即可.

解:(1)在yx2中,當(dāng)x0時,y=﹣2,當(dāng)y0時,x4,

A4,0),B0,﹣2),

∵二次函數(shù)經(jīng)過D(﹣1,0),B4,0),

∴可以假設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax+1)(x4),

A0,﹣2)代入得到a,

∴二次函數(shù)的解析式為yx2x2

2)如圖1中,設(shè)Hx0,x02),且(0≤x0≤4),

HEy軸于E,

HEx0

G1m)在拋物線上,

G1,﹣3),

A4,0),

∴直線AG的解析式為yx4,

HMy軸交AGP

Px0,x04),則PH=(x02)﹣(x04)=﹣x0+2

由直線AG都是解析式yx4,HMy軸交AGP,可得∠HPF45°

HFAGF,

HF(﹣x0+2),

HEHF(﹣x0+2x0=﹣x02+x0=﹣x022+,

∵﹣0,0≤x0≤4

∴當(dāng)x02時,HEHF的值最大,此時H2,﹣1),M2,﹣3),

HM=﹣1﹣(﹣3)=2

3)如圖2中,過點BBTMNT

∵∠BMN=∠BAO,

tanBMNtanBAO

,

又∵B0,﹣2),M2,﹣3),可得BM,BT1,MT2,

設(shè)Tm,n),則解得,

T0,﹣3)或(,﹣),

M2,﹣3),

∴直線MN的解析式為y=﹣3y=﹣x

聯(lián)立得,

分別解方程組可得,舍棄第二,第四組解,

∴滿足條件的點N的坐標(biāo)為(1,﹣3)或(﹣).

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2)分別以點B,D為圓心,BD長為半徑作弧,交于點MN;

3)連接ON,MN

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1)求證:△MFG為等腰三角形.

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