【題目】如圖,將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊,使點C落在點A處,點D落在點E處,直線MN交BC于點M,交AD于點N.
(1)求證:CM=CN;
(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3:1,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)由折疊的性質(zhì)可得:∠ANM=∠CNM,由四邊形ABCD是矩形,可得∠ANM=∠CMN,則可證得∠CMN=∠CNM,繼而可得CM=CN.
(2)首先過點N作NH⊥BC于點H,由△CMN的面積與△CDN的面積比為3:1,易得MC=3ND=3HC,然后設(shè)DN=x,由勾股定理,可求得MN的長,繼而求得答案.
解:(1)證明:由折疊的性質(zhì)可得:∠ANM=∠CNM,
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠ANM=∠CMN.
∴∠CMN=∠CNM.∴CM=CN.
(2)過點N作NH⊥BC于點H,則四邊形NHCD是矩形.
∴HC=DN,NH=DC.
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3:1,
∴.
∴MC=3ND=3HC.∴MH=2HC.
設(shè)DN=x,則HC=x,MH=2x,∴CM=3x=CN.
在Rt△CDN中,,
∴HN=.
在Rt△MNH中,,
∴.
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【題目】如圖,以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O,點E是AB 的中點,連接CE交⊙O于點F,連接AF并延長交BC于點H.
(1)若連接AO,試判斷四邊形AECO的形狀,并說明理由;
(2)求證:AH是⊙O的切線;
(3)若AB=6,CH=2,則AH的長為 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點C的坐標為(1,0),頂點A的坐標為(0,2),頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上,現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移,當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動,則此時點C的對應(yīng)點C′的坐標為( )
A.(,0)B.(2,0)C.(,0)D.(3,0)
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【題目】倡導健康生活推進全民健身,某社區(qū)去年購進A,B兩種健身器材若干件,經(jīng)了解,B種健身器材的單價是A種健身器材的1.5倍,用7200元購買A種健身器材比用5400元購買B種健身器材多10件.
(1)A,B兩種健身器材的單價分別是多少元?
(2)若今年兩種健身器材的單價和去年保持不變,該社區(qū)計劃再購進A,B兩種健身器材共50件,且費用不超過21000元,請問:A種健身器材至少要購買多少件?
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(3,0),B(1,0)兩點(如圖1),頂點為M.
(1)a、b的值;
(2)設(shè)拋物線與y軸的交點為Q(如圖1),直線y=2x+9與直線OM交于點D. 現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.當拋物線的頂點平移到D點時,Q點移至N點,求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ掃過的區(qū)域的面積;
(3)設(shè)直線y=2x+9與y軸交于點C,與直線OM交于點D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時,試探求其頂點的橫坐標h的取值范圍.
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【題目】如圖,在⊙O中,點C在優(yōu)弧上,將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D,連接AC,CD.則下列結(jié)論中錯誤的是( 。
①AC=CD;②AD=BD;③+=;④CD平分∠ACB
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖1,點C在線段AB上,(點C不與A、B重合),分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點P.
(觀察猜想)
①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是 ;
②∠APD的度數(shù)為 .
(數(shù)學思考)
如圖2,當點C在線段AB外時,(1)中的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明;
(拓展應(yīng)用)
如圖3,點E為四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足∠AED=∠BEC=90°,AE=DE,BE=CE,對角線AC、BD交于點P,AC=10,則四邊形ABCD的面積為 .
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【題目】如圖由長為a,寬為b的矩形、(2m+1)個長為4,寬為1的小矩形(為正整數(shù))和若干個小圓組成,其中小圓的直徑與小矩形的寬相等.
(1)當m=1時,a= ,b= ;
(2)當a=24時,求b的值;
(3)a的值能否等于30?請通過計算說明理由;
(4)直接寫出a與b的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+2與反比例函數(shù)y=的圖象在第二象限內(nèi)交于點A,過點A作AB⊥x軸于點B,OB=1.
(1)求該反比例函數(shù)的表達式;
(2)若點P是該反比例函數(shù)圖象上一點,且△PAB的面積為3,求點P的坐標.
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