Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為______．
（2）實踐運(yùn)用：
如（c）圖，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

解：（1）BP+PE的最小值===．

（2）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交CD于點(diǎn)P，連接OA′，AA′，OB．
∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對稱，∠AOD的度數(shù)為60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直徑CD為4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（3）如圖d：首先過點(diǎn)B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
連接DB′并延長交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分線，可得∠APB=∠APD）．
分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結(jié)果；
（2）要在直徑CD上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，連接A′B，與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果．
（3）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，延長DB′交AC于點(diǎn)P．則點(diǎn)P即為所求．
點(diǎn)評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．