Question

已知AB是⊙O的直徑，C、E是⊙O上的點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分別為D、F，過點(diǎn)E作 EG⊥0C，垂足為G，延長EG交OA于H．
求證：
（1）HO•HF=HG•HE；
（2）FG=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：證明題

分析：（1）利用相似三角形的判定方法得出△HGO∽△HFE，進(jìn)而得出即可；
（2）過點(diǎn)G作 GM⊥0H，垂足為M，連結(jié)OE，利用

HO

HE

=

HG

HF

，∠EHO=∠FHG得出△HGF∽△HOE，進(jìn)而得出Rt△FGM∽Rt△EOG，即可得出

GF

OE

=

CD

OC

由OE=OC得出答案．

解答：證明：（1）∵EG⊥0C，EF⊥AB
∴∠HGO=∠HFE=90°
又∵∠GHO=∠FHE，
∴△HGO∽△HFE，
∴

HO

HE

=

HG

HF

，
即HO•HF=HG•HE；

   （2）如圖1，過點(diǎn)G作 GM⊥0H，垂足為M，連結(jié)OE
∵

HO

HE

=

HG

HF

，∠EHO=∠FHG
∴△HGF∽△HOE
∴∠HFG=∠HEO
∴Rt△FGM∽Rt△EOG
∴

GM

OG

=

GF

OE

又  GM∥CD，
∴

GM

CD

=

OG

OC

即

GM

OG

=

CD

OC

∴

GF

OE

=

CD

OC

由OE=OC，得GF=CD

方法二：如圖2，延長CD交⊙O于點(diǎn)N，延長EF交⊙O于點(diǎn)L，延長EH交⊙O于點(diǎn)K，連接KL，
則KL=2GF，CN=2CD
∵∠HEL=∠AOC，
∴KL=CN，∴GF=CD

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出Rt△FGM∽Rt△EOG是解題關(guān)鍵．