Question

已知ABCD是正方形，E是CD上一點，且

CE

DE

=

1

3

，P是BC上的點，若△ABP與△PCE相似，則這樣的P有

 

個．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：常規(guī)題型

分析：設(shè)正方形ABCD的邊長為4，BP=x，則CE=1，PC=4-x，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到當(dāng)

AB

CE

=

BP

CP

時，△ABP∽△ECP，即

4

1

=

x

4-x

；當(dāng)

AB

PC

=

BP

CE

時，△ABP∽△PCE，即

4

4-x

=

x

1

，然后分別解兩個方程求出x的值，于是可判斷P點的個數(shù)．

解答：解：設(shè)正方形ABCD的邊長為4，BP=x，則CE=1，PC=4-x，
∵∠ABP=∠PCE=90°，
∴當(dāng)

AB

CE

=

BP

CP

時，△ABP∽△ECP，即

4

1

=

x

4-x

，即得x=

16

5

；
當(dāng)

AB

PC

=

BP

CE

時，△ABP∽△PCE，即

4

4-x

=

x

1

，整理得x2-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴當(dāng)BP=

16

5

或2時，△ABP與△PCE相似．
故答案為2．

點評：本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了正方形的性質(zhì)．