Question

如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，tan∠AOB=。

（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過DC的中點(diǎn)E，求直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若直線AE與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，請你探索線段AN與線段ME的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由.

Answer 1

解：（1）由已知條件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴。∴AB=3。
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）。
∴k=xy=6。
（2）∵DC由AB平移得到，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為。
又∵點(diǎn)E在雙曲線上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）。
設(shè)直線AE的函數(shù)表達(dá)式為，則
，解得。
∴直線AE的函數(shù)表達(dá)式為。
（3）結(jié)論：AN=ME。理由：
在表達(dá)式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=。
∴點(diǎn)M（6，0），N（0，）。
解法一：延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=。
∴根據(jù)勾股定理可得AN=。
∵CM=6－4=2，EC=，
∴根據(jù)勾股定理可得EM=。
∴AN=ME。
解法二：連接OE，延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，
∵，
∴，
∵AN和ME邊上的高相等，
∴AN=ME。

試題分析：（1）在直角△AOB中利用三角函數(shù)求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值.
（2）已知E是DC的中點(diǎn)，則E的縱坐標(biāo)已知，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式.
（3）首先求得M、N的坐標(biāo)，延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的長，即可證得.