Question

周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S₃、S₄、S₆之間的大小關系是

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：先根據(jù)題意畫出圖形設出正六邊形的邊長，再根據(jù)正三角形、正方形、正六邊形的周長都相等求出各圖形的邊長，再分別求出其面積即可．

解答：解：設正六邊形的邊長為a，如圖所示，
則正△ABC的邊長為2a，正方形ABCD的邊長為

3a

2

．
如圖（1），過A作AD⊥BC，D為垂足；
∵△ABC是等邊三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
∴S₃=S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×2a×

3

a=

3

a²≈1.73a²．
如圖（2），∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=

3a

2

，
∴S₄=S_□ABCD=AB²=

3a

2

×

3a

2

=

9

4

a²≈2.25a²．
如圖（3），過O作OG⊥BC，G為垂足，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC=

360°

6

=60°，
∴∠BOG=30°，OG=

BG

tan30°

=

a 2

3 3

=

3

2

a．
∴S_△BOC=

1

2

×

3

2

a×a=

3

4

a²，
∴S₆=6S_△BOC=6×

3

4

a=

3 3

2

a²≈2.59a²．
∵2.59a²＞2.25a²＞1.73a²．
∴S₆＞S₄＞S₃．
故答案為：S₆＞S₄＞S₃．

點評：此題主要考查了正多邊形和圓的性質，解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正三角形、正方形、正六邊形的周長都相等設出其邊長，求出其邊長之間的關系，最后再分別求出其面積進行比較即可．