Question

在矩形ABCD中．點E為BC邊上的一動點，沿AE翻折，ABE與AFE重合，射線AF與直線CD交于點G．
（1）如圖1，消退點E為BC中點時，線段AB、AG、GD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；
（2）如圖2，當(dāng)BE：EC=3：1時，上問中的結(jié)論是否改變？寫出證明過程；

Answer 1

解：（1）AG+GD=2AB．
證明：連接EG，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG，
∴FG=CG，
∴AG=AF+FG=AB+FG，GD=DC-GC=AB-GC，
AG+GD=（AB+FG）+（AB-GC）=2AB．

（2）結(jié)論改變．
證明：過點E作EH⊥BC，分別交AG和AD于點H和I，
則HE∥GC，∠G=∠AHE，
又∠ADG=∠EFH=90°，
∴△ADG∽△EFH，
∴ ①，
又BE：EC=3：1，
∴EH=EI+HI=AB+HI=AB+DG，
代入①式得：=，
整理得：3AG=4AB+3GD．

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出GC=FG，繼而得出AG+GD=2AB；
（2）結(jié)論改變，過點E作EH⊥BC，分別交AG和AD于點H和I，則有△ADG∽△EFH，繼而有，EH=AB+DG，代入即可求出AB、GD和AG的關(guān)系．
點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大，其中第二問的解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，注意這類題目的積累和思考．