Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2+bx+3經過點A（3，0），G（﹣1，0）兩點．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）若點M時拋物線在第一象限圖象上的一點，求△ABM面積的最大值；

（3）拋物線的對稱軸交x軸于點P，過點E（0， ）作x軸的平行線，交AB于點F，是否存在著點Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）△ABM面積的最大值是；

（3）存在； Q的坐標為（﹣，﹣）或（﹣， ）．

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得ME的長，根據三角形的面積，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

（3）即可確定△BEP，根據相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．

試題解析：（1）將A、G點坐標代入函數解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）作ME⊥x軸交AB于E點，如圖1

當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3）

直線AB的解析式為y=﹣x+3，

設M（n，﹣ n2+2n+3），E（n，﹣n+3），

ME═﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）=﹣n2+5n，

S△ABM=MExA=（﹣n2+5n）×3=﹣（n﹣）2+，

當n=時，△ABM面積的最大值是；

（3）存在；理由如下：

OE=，AP=2，OP=1，BE=3﹣=，

當y=時，﹣ x+3=，解得x=，即EF=

將△BEP繞點E順時針方向旋轉90°，得到△B'EC（如圖3），

∵OB⊥EF，

∴點B'在直線EF上，

∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO﹣PO長度，

∴C點坐標為（﹣， ﹣1），

過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，

則△FEQ∽△B'EC，

由 =，

可得Q的坐標為（﹣，﹣）；

根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點Q'（﹣， ）也符合條件．