Question

如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，過點(diǎn)C的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE⊥CE，連接CD．
（1）求證：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．
∴．
∴DC=BC．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴BC==3．
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．
∴．
∴．
∵DC=BC=3，
∴．
∴tan∠DCE=．
分析：（1）連接OC，求證DC=BC可以證明∠CAD=∠BAC，進(jìn)而證明；
（2）AB=5，AC=4，根據(jù)勾股定理就可以得到BC=3，易證△ACE∽△ABC，則∠DCE=∠BAC，則tan∠DCE的值等于tan∠BAC，在直角△ABC中根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出．
點(diǎn)評(píng)：證明圓的弦相等可以轉(zhuǎn)化為證明弦所對(duì)的弧相等，并且本題考查了三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)．