Question

數(shù)學課上，老師出示如圖和下面框中條件，

同學發(fā)現(xiàn)兩個結論：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；

②數(shù)值相等關系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)請你驗證結論①和結論②成立；

(2)請你研究：如果將上述框中的條件“A點坐標為(1，0)”改為“A點坐標為(t，0)，(t＞0)”．其他條件不變，結冰①是否仍成立？(請說出理由)

(3)進一步研究：如果將上述框中的條件“A點坐標為(1，0)”改為“A點坐標為(t，0)(t＞0)”．又將條件“y＝x²”改為“y＝ax²(a＞0)”其他條件不變，那么x_C、x_D和y_H有怎樣的數(shù)值關系？(寫出結果并說明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得點B的坐標為(2，0)，點C的坐標為(1，l)點D的坐標為(2，4)由點C坐標為(1，1)易得直線OC的函數(shù)解析式為y＝x，∴點M的坐標為(2，2)，∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即結論①成立；設直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則，得，∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3x－2；由上述可得，點H的坐標為(0，－2)，yH＝－2，∵xC·xD＝2，xC·xD＝－yH，即結論②成立; 　　(2)結論①仍成立．∵點A的坐標為(t，0)(t＞0)，則點B坐標為(2t，0)，從而點C坐標為(t，t2)，點D坐標為(2t，4t2)，設直線OC的函數(shù)解析式為y＝kx，則t2＝kt，得k＝t，∴直線OC的函數(shù)解析式為y＝tx，設點M的坐標為(2t，y)，∵點M在直線OC上，∴當x＝2t時，y＝2t2，點M的坐標為(2t，2t2)，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝·2t2·t∶(t2＋2t2)＝2∶3，∴結論①仍成立. 　　(3)xC·xD＝－·yH．由題意，當二次函數(shù)的解析式為y＝ax2(a＞0)，且點A坐標為(t，0)(t＞0)時，點C坐標為(t，at2)，點D坐標為(2t，4at2)，設直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則，得，∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3atx－2at2．則點H的坐標為(0，－2at2)，yH＝－2at2，∵xC·xD＝2t2，∴xC·xD＝－yH．