Question

拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）如圖，P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；
（2）拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC=90°，實(shí)數(shù)m的變化范圍是______．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴y=-x²+2x+3，
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線BC的解析式為y=-x+3，
過點(diǎn)D作BC的平行直線，設(shè)解析式為y=-x+d，
聯(lián)立，
消掉y得，-x²+2x+3=-x+d，
整理得，x²-3x-3+d=0，
當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，△BDC的面積最大，
所以，x=-=，
∵PD∥y軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
此時(shí)y=-+3=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4），
過點(diǎn)C作CG⊥EF，則CG=1，
①點(diǎn)N在EG上時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)最大，
∵點(diǎn)C（0，3），E（1，4），
∴GE=1，
∴∠CEG=45°，
∵∠MNC=90°，
∴∠MEF=90°-45°=45°，
∴MF=EF=4，
∴OM=4+1=5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0），
即m的最大值為5，
②點(diǎn)N在線段GF上時(shí)，設(shè)GN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，
即=，
整理得，MF=-x²+3x=-（x-）²+，
所以，當(dāng)x=時(shí)，MF有最大值，
MO=MF-OF=-1=，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，0），
所以，m的最小值為-，
因此，實(shí)數(shù)m的變化范圍為-≤m≤5．
故答案為：（，）；-≤m≤5．
分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，從而得到拋物線的解析式，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，當(dāng)與BC平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大，此時(shí)△BDC的面積最大，然后聯(lián)立直線與拋物線解析式，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x的值，即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后代入直線BC的解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CG⊥%EF，然后分①點(diǎn)N在EG上時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)最大，然后根據(jù)點(diǎn)C、E的坐標(biāo)求出∠CEG=45°，再求出∠MEF=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EM的長度，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出m的最大值；②點(diǎn)N在線段GF上時(shí)，設(shè)GN=x，然后表示出NF，根據(jù)同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后證明△NCG和△MNF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出y的最大值，然后求出MO，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出m的最小值．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)解析式與直線解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，平行直線的解析式的k值相等，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，二次函數(shù)的最大值問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）要分情況討論．