Question

如圖，拋物線（a≠0）經(jīng)過點A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點M．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）點D的坐標(biāo)為

（3）滿足條件的點P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。

【解析】

分析：（1）把點A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值。

（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標(biāo)為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為。由題意設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點F的坐標(biāo)為，易求DF關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理來求線段DF的最大值。

（3）對點P的位置進(jìn)行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況。利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答。

解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1）代入得，

．解得。

∴拋物線的表達(dá)式為。

（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1．∴點M的坐標(biāo)為（0，1）。

設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，

則，解得。

∴直線MA的表達(dá)式為。

設(shè)點D的坐標(biāo)為，

則點F的坐標(biāo)為。

∴。

∴當(dāng)時，DF的最大值為。

此時，即點D的坐標(biāo)為。

（3）存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似。

設(shè)P，

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限。

①設(shè)點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM。

∴，即，

解得m=﹣3或m=﹣8。

∵此時﹣3＜m＜0，∴此時滿足條件的點不存在。

②當(dāng)點P在第三象限時，

∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM。

∴，即，

解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。

當(dāng)m=﹣8時，，∴此時點P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）。

③當(dāng)點P在第四象限時，

若AN=3PN時，則，

即m²+m﹣6=0。

解得m=﹣3（舍去）或m=2。

當(dāng)m=2時，，

∴此時點P的坐標(biāo)為（2，）。

若PN=3NA，則，即m²﹣7m﹣30=0。

解得m=﹣3（舍去）或m=10。

當(dāng)m=10時，，∴此時點P的坐標(biāo)為（10，﹣39）。

綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。