【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接與⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足為E,點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上,且DF=DC,連接AF、CF。
(1)若∠CAD=α,求∠BAC(用含α的代數(shù)式表示);
(2)求證:CF是⊙O的切線。
【答案】(1)∠BAC=2α;(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到,即可得到∠ABC=∠ADB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=(180°-∠BAC)=90°-∠BAC,∠ADB=90°-∠CAD,從而得到∠BAC=∠CAD,即可證得結(jié)論;
(2)連接OA,OC,設(shè)∠CAD=α,∠ABD=β,則可得∠AOC=2(α+β),從而可求出∠ACO=90°-α-β,由圓周角定理可得∠BDC=2α,因?yàn)?/span>DF=DC,所以∠DCF=∠DFC=α,可求得∠DCF+∠DCA+∠DCO=90°,從而可得結(jié)論.
(1)∵AB=AC,
∴,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ADB,∠ABC=(180°-∠BAC)=90°-∠BAC,
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°-∠CAD,
∴∠BAC=∠CAD,
∴∠BAC=2∠CAD;
∵∠CAD=α,
∴∠BAC=2α;
(2)連接OA,OC,設(shè)∠CAD=α,∠ABD=β,
∴∠ABC=α+β,∠ACD=β
∴∠AOC=2(α+β),
∵AO=OC
∴∠ACO=,
由(1)得∠BAC=2α,
∴∠BDC=2α
∵DF=DC
∴∠DFC=∠DCF,
∴∠DFC+∠DCF=2α,即∠DCF=α,
∵∠OCF=∠OCA+∠ACD+∠DCF=90°-α-β+β+α=90°,
∴OC⊥FC,
∴CF是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2+bx的圖象如圖,對(duì)稱軸為x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣2t=0(t為實(shí)數(shù))在﹣1<x≤4的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是_____.
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【題目】我市有2000名學(xué)生參加了2018年全省八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試.其中有這樣一題:如圖,分別以線段BD的端點(diǎn)B、D為圓心,相同的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于A、C兩點(diǎn),連接AB、AD、CB、CD.若AB=2,BD=2,求四邊形ABCD的面積.
統(tǒng)計(jì)我市學(xué)生解答和得分情況,并制作如下圖表:
(1)求學(xué)業(yè)水平測(cè)試中四邊形ABCD的面積;
(2)請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)我市該題的平均得分為多少?
(4)我市得3分以上的人數(shù)為多少?
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【題目】觀察下列各式及其驗(yàn)證過程:,驗(yàn)證:,驗(yàn)證:.
(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程,猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;
(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律,直接寫出用a(a≥2的整數(shù))表示的等式.
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【題目】在正方形和等腰直角中,,是的中點(diǎn),連接、.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),延長(zhǎng)交于點(diǎn).求證:;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若四邊形為菱形,且,為等邊三角形,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論,并畫出論證過程中需要添加的輔助線.
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【題目】順次連接邊長(zhǎng)為的正六邊形的不相鄰的三邊的中點(diǎn),又形成一個(gè)新的正三角形,則這個(gè)新的正三角形的面積等于( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)、是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的的取值范圍;
(3)若直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),連結(jié)、,求的面積;
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),頂點(diǎn)B恰好落在第一象限的雙曲線上,現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移,當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)停止運(yùn)動(dòng),則此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為( 。
A.(,0)B.(2,0)C.(,0)D.(3,0)
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【題目】在△ABC中,∠ABC=120°,線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD,連接BD.
(1)如圖1,若AB=BC,求證:BD平分∠ABC;
(2)如圖2,若AB=2BC,
①求的值;
②連接AD,當(dāng)S△ABC=時(shí),直接寫出四邊形ABCD的面積為 .
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