【題目】在正方形和等腰直角中,,是的中點(diǎn),連接、.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),延長交于點(diǎn).求證:;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若四邊形為菱形,且,為等邊三角形,點(diǎn)在的延長線上時(shí),線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出你的結(jié)論,并畫出論證過程中需要添加的輔助線.
【答案】(1)證明見解析;(2)成立,證明見解析;(3),圖詳見解析.
【解析】
(1)利用已知條件易證,則有,,從而有,再利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)由已知條件易證,由全等三角形的性質(zhì)證明,最后利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(3)由已知條件易證,由全等三角形的性質(zhì)證明,最后利用等腰三角形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值即可求出答案.
(1)證明:,
又,
(ASA)
,
又,,
在中,
(2)成立,證明如下:
延長到,使,連接、、.
,,
、、
,,
,
在中,
(3)
論證過程中需要的輔助線如圖所示
證明:延長GP到點(diǎn)E,使,連接DE,CE,CG,
∵
∴
∴
∵為等邊三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)種植A、B、C三種樹苗一共480棵,安排80名工人一天正好完成,已知每名工人只植一種樹苗,且每名工人每天可植A種樹苗8棵;或植B種樹苗6棵,或植C種樹苗5棵.經(jīng)過統(tǒng)計(jì),在整個(gè)過程中,每棵樹苗的種植成本如圖所示.設(shè)種植A種樹苗的工人為x名,種植B種樹苗的工人為y名.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)種植的總成本為w元,
①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
②若種植的總成本為5600元,從植樹工人中隨機(jī)采訪一名工人,求采訪到種植C種樹苗工人的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為∠ABC的邊上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn),到點(diǎn)的距離等于線段OM的長的所有點(diǎn)組成圖形.圖形W與射線交于E,F兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)F的左側(cè)).
(1)過點(diǎn)作于點(diǎn),如果BE=2,,求MH的長;
(2)將射線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線BD,使得∠,判斷射線BD與圖形公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(M不與B、C重合)
(1)如圖1,若∠MAC=45°,求;
(2)如圖2,將CM繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至CN,連接BN,T為BN的中點(diǎn),連接AT.
①求證:AM=2AT;
②當(dāng)AB=AC=2時(shí),直接寫出CM+4AT的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點(diǎn)D,連接AD.過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)當(dāng)⊙O半徑為3,CE=2時(shí),求BD長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接與⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足為E,點(diǎn)F在BD的延長線上,且DF=DC,連接AF、CF。
(1)若∠CAD=α,求∠BAC(用含α的代數(shù)式表示);
(2)求證:CF是⊙O的切線。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.
(1)如圖①,連接AD,若∠CAD=25°,求∠B的大小;
(2)如圖②,若點(diǎn)F為弧AD的中點(diǎn),⊙O的半徑為2,求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則x1+x2=﹣,x1x2=.
解決下列問題:已知關(guān)于x的一元二次方程(x+n)2=6x有兩個(gè)非零不等實(shí)數(shù)根x1,x2,設(shè)m=,
(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),求m的值;
(Ⅱ)是否存在這樣的n值,使m的值等于?若存在,求出所有滿足條件的n的值;若不存在,請說明理由.
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