Question

【題目】在正方形和等腰直角中，，是的中點(diǎn)，連接、.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，延長交于點(diǎn).求證：；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，若四邊形為菱形，且，為等邊三角形，點(diǎn)在的延長線上時(shí)，線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，并畫出論證過程中需要添加的輔助線.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3），圖詳見解析.

【解析】

（1）利用已知條件易證，則有，，從而有，再利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）由已知條件易證，由全等三角形的性質(zhì)證明，最后利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）由已知條件易證，由全等三角形的性質(zhì)證明，最后利用等腰三角形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值即可求出答案.

（1）證明：，

又，

(ASA)

，

又，，

在中，

（2）成立，證明如下：

延長到，使，連接、、.

，，

、、

，，

，

在中，

（3）

論證過程中需要的輔助線如圖所示

證明：延長GP到點(diǎn)E，使,連接DE，CE,CG,

∵

∴

∴

∵為等邊三角形

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

∴