Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊AB，BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）證明：∠BAE=∠FEC；
（2）證明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面積．

Answer 1

分析：（1）由于∠AEF是直角，則∠BAE和∠FEC同為∠AEB的余角，由此得證；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定兩個三角形全等；
（3）在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理易求得AE²；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面積為AE²的一半，由此得解．

解答：（1）證明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°；（1分）
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；（3分）

（2）證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分線，
∠ECF=90°+45°=135°；（4分）
在△AGE和△ECF中，

AG=EC ∠AGE=∠ECF=135o ∠GAE=∠FEC

；
∴△AGE≌△ECF；（6分）

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；（7分）
∵AB=a，E為BC中點，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

AB=

1

2

a，
根據(jù)勾股定理得：AE=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a，
∴S_△AEF=

5

8

a²．（9分）

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等；綜合性較強，難度適中．