Question

P為正方形ABCD內(nèi)部一點，PA=1，PD=

2

，PC=

3

，求陰影部分的面積S_ABCP．

Answer 1

分析：將△PAD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CD的位置，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P′C=AP=1，DP′=DP=

2

，∠APD=∠DP′C，于是△DPP′為等腰直角三角形，則PP′=

2

DP=

2

×

2

=2，∠DPP′=∠DP′P=45°，在△PP′C中根據(jù)勾股定理的逆定理易得△PP′C為直角三角形，∠P′CP=90°，并且∠P′PC=30°，∠PP′C=60°，則∠DP′C=∠DP′P+∠PP′C=45°+60°=105°，得到∠APD=105°，于是有∠APD+∠DPP′+∠P′PC=105°+45°+30°=180°，得到點A、P、C共線，所以陰影部分為等腰直角三角形，斜邊為（

3

+1），然后根據(jù)等腰直角三角形的面積公式計算即可．

解答：解：將△PAD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CD的位置，連接PP′，如圖，
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DA與DC重合，∠PDP′=∠ADC=90°，
∴P′C=AP=1，DP′=DP=

2

，∠APD=∠DP′C，
∴△DPP′為等腰直角三角形，
∴PP′=

2

DP=

2

×

2

=2，∠DPP′=∠DP′P=45°，
在△PP′C中，PC=

3

，PP′=2，P′C=1，
∴PC²+P′C²=P′P²，
∴△PP′C為直角三角形，∠P′CP=90°，
而P′C=

1

2

PP′，
∴∠P′PC=30°，∠PP′C=60°，
∴∠DP′C=∠DP′P+∠PP′C=45°+60°=105°，
∴∠APD=105°，
∴∠APD+∠DPP′+∠P′PC=105°+45°+30°=180°，
∴點A、P、C共線，
∴陰影部分為等腰直角三角形，斜邊為（

3

+1），
∴陰影部分的面積S_ABCP=

1

2

（

3 +1

2

）²=

2+ 3

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理的逆定理、正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)．