Question

已知平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）請在給出的直角坐標系xOy中畫出△ABC，設(shè)AC交X軸于點D，連接BD，證明：OD平分∠ADB；
（2）請在x軸上找出點E，使四邊形AOCE為平行四邊形，寫出E點坐標，并證明四邊形AOCE是平行四邊形；
（3）設(shè)經(jīng)過點B，且以CE所在直線為對稱軸的拋物線的頂點為F，求直線FA的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖示可知OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，可得DA=DB，從而OD平分∠ADB．
（2）過點C作CE⊥x軸，E為垂足，根據(jù)AO=2=CE，AO⊥x軸，CE⊥x軸可知AO∥CE，所以四邊形AOCE是平行四邊形．
（3）設(shè)過A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，則利用待定系數(shù)法可解得直線AC的解析式為y=-x+2．所以拋物線過B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法可解拋物線解析式為y=-

1

6

x2+

4

3

x-2=-

1

6

(x-4)2+

2

3

，所以其頂點為F(4，

2

3

)．設(shè)經(jīng)過F(4，

2

3

)，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，利用待定系數(shù)法可解得直線FA的解析式為y=-

1

3

x+2．

解答：解：（1）畫圖如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
從而OD平分∠ADB．（3分）

（2）過點C作CE⊥x軸，E為垂足，則E（4，0），
使四邊形AOCE為平行四邊形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x軸，CE⊥x軸?AO∥CE，
∴四邊形AOCE是平行四邊形．（7分）

（3）設(shè)過A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，
則

b1=2 4k1+b1=-2

，?

k1=-1 b1=2

∴直線AC的解析式為y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐標為（2，0）．（9分）
由于拋物線關(guān)于CE對稱，
故D關(guān)于CE的對稱點D′（6，0）也在拋物線上，
所以拋物線過B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有

c=-2 4a+2b+c=0 36a+6b+c=0

?

a=- 1 6 b= 4 3 c=-2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

6

x2+

4

3

x-2=-

1

6

(x-4)2+

2

3

．
其頂點為F(4，

2

3

)．（12分）
設(shè)經(jīng)過F(4，

2

3

)，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，
則

4k2+b2= 2 3 b2=2

?

k2=- 1 3 b2=2

，
∴直線FA的解析式為y=-

1

3

x+2．（14分）

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行四邊形的判定和角平分線的性質(zhì)等．要熟練掌握才能靈活運用．