Question

如圖，已知⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，
（1）若∠A=x，∠EDF=y，求y與x的函數關系式．
（2）若∠A=90°，AB=8，BC=10，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）連接OE、OF．
∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，
∴∠EOF=2y，∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠A+∠EOF=360°-90°-90°=180°，
∴y=90°-x，
答：y與x的函數關系式是y=90°-x．

（2）設圓O的半徑是r．
由勾股定理得：AC==6，
∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，
∴AE=AF，CD=CF，BE=BD，∠OEA=∠OFA=∠A=90°，OE=OF，
∴四邊形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=AF=r，
∴AC-r+AB-r=BC，
∴6-r+8-r=10，
∴r=2．
答：⊙O的半徑是2．
分析：（1）連接OE、OF，求出∠EOF=2y，∠OEA=∠OFA=90°，根據四邊形的內角和定理求出即可；
（2）根據勾股定理求出AC，推出AE=AF，CD=CF，BE=BD，∠OEA=∠OFA=∠A=90°，OE=OF，證四邊形OEAF是正方形，根據AC-r+AB-r=BC代入求出即可．
點評：本題主要考查對正方形的性質和判定，切線長定理，圓周角定理，勾股定理，四邊形的內角和定理，三角形的內切圓與內心等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵．