Question

為了慶祝“元旦”，學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)大廳的圓柱體柱子上貼彩帶，已知柱子的底面周長為1m，高為3m．如果要求彩帶從柱子底端的A處繞柱子1圈后到達(dá)柱子頂端的B處（線段AB與地面垂直），那么彩帶的長度最短為

 

m；如果繞柱子n圈，則彩帶的長度至少為

 

m．

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題

專題：

分析：要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時(shí)，借助于勾股定理．

解答：解：將圓柱表面切開展開呈長方形．
如果繞柱子1圈時(shí)，則有螺旋線長為1個(gè)長方形的對角線長，設(shè)此時(shí)彩帶的長為xm．
∵圓柱的底面周長為1m，高為3m，
∴x²=1²+3²=10，
解得x=

10

．
所以，如果繞柱子1圈，則彩帶的長度至少為

10

m；
如果繞柱子n圈時(shí)，則有螺旋線長為n個(gè)長方形并排后的長方形的對角線長，設(shè)此時(shí)彩帶的長為ym．
∵圓柱的底面周長為1m，高為3m，
∴y²=（1×n）²+3²=n²+9，
解得y=

n2+9

．
所以，如果繞柱子n圈，則彩帶的長度至少為

n2+9

m．
故答案為

10

；

n2+9

．

點(diǎn)評：本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．