Question

【題目】（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PB+PC．

下面給出一種證明方法，你可以按這一方法補全證明過程，也可以選擇另外的證明方法．

證明：在AP上截取AE=CP，連接BE

∵△ABC是正三角形

∴AB=CB

∵∠1和∠2的同弧圓周角

∴∠1=∠2

∴△ABE≌△CBP

（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PC+ PB．

（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PA=PC+PB

【解析】

（1）延長BP至E，使PE＝PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB＋PC；

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得PA＝PC＋PB；（3）在AP上截取AQ＝PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ＝BP．又因為∠APB＝30°．所以PQ＝PB，PA＝PQ＋AQ＝PB＋PC.

證明：（1）延長BP至E，使PE＝PC，

連接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，

∴∠CPE＝60°，

∴△PCE是等邊三角形，

∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；

又∵∠EBC＝∠PAC，

∴△BEC≌△APC，

∴PA＝BE＝PB＋PC．

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．

∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°

∴∠1＝∠3，

又∵∠APB＝45°，

∴BP＝BE，∴；

又∵AB＝BC，

∴△ABE≌△CBP，

∴PC＝AE．

∴．

（3）答：；

證明：在AP上截取AQ＝PC，

連接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，

∴△ABQ≌△CBP，

∴BQ＝BP．

又∵∠APB＝30°，

∴PB

∴PB+PC