Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為1，E、D是切點(diǎn)，∠BOC=105°．求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：連接OD、OE．
則OD=OE=1，
∵O是△ABC的內(nèi)切圓圓心
∴OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線(xiàn)，
即且
又∵∠ACB=90°，∴，
∵OD、OE是過(guò)切點(diǎn)的半徑，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
，
∴，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+
在Rt△ABC中，
AB=2+2，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE==，
∴AE=2+．
分析：首先根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)的性質(zhì)以及切線(xiàn)的性質(zhì)得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)以及AB的長(zhǎng)，即可得出AE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確得出∠ABC的度數(shù)以及BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．