Question

已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C和x軸上的另一點(diǎn)B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式，并畫(huà)出函數(shù)圖象略圖；
（2）在直線AC上求點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于△AMC面積的8倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，分別求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再代入解析式即可求出；
（2）過(guò)B作BP⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)P₁，則OC∥BP₁．△ABP∽△AOC，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再過(guò)P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂與Rt△ACO中，求出Rt△ABP₂∽R(shí)t△ACO 進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=，以及S_△ABQ=AB•|y_Q|=8×，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8，即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由于直線y=2x+4與x軸、y軸相交于A、C兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4．  當(dāng)y=0時(shí)，x=-2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）
經(jīng)過(guò)A（-2，O），B（1，O），C（O，4）三點(diǎn)，
拋物線的解析式為：y=-2x²-2x+4．
如圖，畫(huà)出函數(shù)圖象略圖．

（2）（i）由于OC⊥AO，所以過(guò)B作BP⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)P₁，
則OC∥BP₁．△ABP∽△AOC．
∵P_l點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，把x=1代入y=2x+4得y=6．
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）．
（ii）∵△AOC為直角三角形，且AO=2，OC=4，∴AC=2．
過(guò)P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂與Rt△ACO中，∠CA0是公共角，
∴Rt△ABP₂∽R(shí)t△ACO  =，AP₂=
過(guò)B點(diǎn)作P₂D⊥X軸于D，則Rt△AP₂D∽R(shí)t△ABP₂．=
∴AD=，OD=OA-AD=，
∴P₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-
把X=-代入y=2x+4得y=．P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）；

（3）存在．
拋物線y=-2x²-2x+4頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，）．
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使．S_△ABQ=8S_△AMC．
設(shè)Q的坐標(biāo)為（x_Q，y_Q），對(duì)稱軸X=-與x軸交于點(diǎn)F．
則S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=，
S_△ABQ=AB•|y_Q|=8×，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8．
當(dāng)y_Q=8時(shí)，-2x²-2x+4=8，即：x²+x+2=O，
∵△=-7＜O，∴此方程無(wú)解．
當(dāng)y_Q=-8時(shí)，-2x²-2x+4=-8，即：x²+x-6=0，解之得x₁=-3，x₂=2，
∴O點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-8）或（2，-8）．
∴在拋物線上存在點(diǎn)Q₁（-3，-8）或Q₂（2，-8），
使△ABQ的面積等于△AMC面積的8倍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析得出是解題關(guān)鍵．