如圖,AD、CE是△ABC的角平分線,AD、CE相交于點F,已知∠B=60°,則下列說法中正確的個數(shù)是( 。
①AF=FC;②△AEF≌△CDF;③AE+CD=AC;④∠AFC=120°.
分析:①、②當AF=FC、△AEF≌△CDF時,需要∠BAC=∠BCA;
③、④在AC上取AG=AE,連接FG,即可證得△AEG≌△AGF,得∠AFE=∠AFG;再證得∠CFG=∠CFD,則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC,可得DC=GC,即可得結論.
解答:解:①假設AF=FC.則∠1=∠4.
∵AD、CE是△ABC的角平分線,
∴∠BAC=2∠1,∠BCA=2∠4,
∴∠BAC=∠BCA.
∴當∠BAC≠∠BCA時,該結論不成立;
故①不一定正確;

②假設△AEF≌△CDF,則∠2=∠3.
同①,當∠BAC=∠BCA時,該結論成立,
∴當∠BAC≠∠BCA時,該結論不成立;
故②不一定正確;

③在AC上取AG=AE,連接FG,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
在△AEF與△AGF中,
AE=AG
∠2=∠1
AF=AF
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG;
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,
∴∠4+∠1=
1
2
∠ACB+
1
2
∠BAC=
1
2
(∠ACB+∠BAC)=
1
2
(180°-∠B)=60°
則∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°;
∴∠AFC=∠DFE=120°,∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
則∠CGF=60°,
∴∠CFD=∠CFG,
在△GFC與△DFC中,
∠CFD=∠CFG
CF=CF
∠GCF=∠DCF
,
∴△GFC≌△DFC(ASA),
∴DC=GC,
∵AC=AG+GC,
∴AC=AE+CD.
故③正確;

④由③知,∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°,即∠AFC=120°;
故④正確;
綜上所述,正確的結論有2個.
故選:B.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質,角平分線的性質.在應用全等三角形的判定時,要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時添加適當輔助線構造三角形.
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