Question

如圖①，將兩個完全相同的三角形紙片ABC與DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°。

（1）如圖②，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，DE交BC于點(diǎn)F，則線段DF與AC有怎樣的關(guān)系？請說明理由。

（2）當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③所示的位置時，設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2。

猜想：S1與S2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想。

 

Answer 1

(1) DF∥AC;(2) S1=S2.

【解析】

試題分析：（1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；

（2）過D點(diǎn)作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依據(jù)ASA求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根據(jù)等底等高的三角形面積相等．

試題解析：（1）DF∥AC；

【解析】
如圖②所示，

∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，

∴∠A=∠CDE=60°，

∵AC=DC，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°=∠CDE，

∴DF∥AC，

∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，

∴DF=DC=AC；

（2）猜想：S1=S2；

證明：過D點(diǎn)作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，

∵∠ECD=90°，

∴∠DCM=90°

∴∠DCN=90°-∠NCM，

又∵∠ACM=90°-∠NCM，

∴∠ACM=∠DCN，

在△ACM與△DCN中

∠ACM＝∠DCN

AC＝CD

∠AMC＝∠DNC，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴AM=DN，

又∵CE=BC，

∴BC•DN=CE•AM，

即S1=S2．

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．