已知：如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2
2
的⊙O′與y軸交于A、B兩點，與直線OC相切于點C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足為C．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在
BC
上取一點D，連接DA、DB、DC，DA交BC于點E．求證：BD•CD=AD•ED；
（3）延長BC交x軸于點G，求經(jīng)過O、C、G三點的二次函數(shù)的解析式．
（1）∵OC與⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上，即BC為⊙O'的直徑
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC為等腰直角三角形
∴A為OB的中點，CD=
1
2
OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）證明：∵AC=AB
∴
AC
=
AB
．
∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
∴
AD
BD
=
DC
DE
，
即BD•CD=AD•ED．

（3）在Rt△BOC中
∵⊙O′的半徑為2
2

∴BC=4
2

∵∠BOC=45°
∴OB=
2
•BC=8，CA=OA=AB=
1
2
OB=4
∵CA∥x軸，
∴C點坐標為（-4，-4）
∴BC=CG
∴AC為△BGO的中位線
∴OG=2AC=8
∴G點坐標為（-8，0）
設(shè)過O、C、G三點的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c，
由已知，函數(shù)圖象過（0，0），（-4，-4），（-8，0）三點，得
c=0
16a-4b=-4
64a-8b=0

解這個方程組，得
a=
1
4
，b=2，c=0
因此，所求二次函數(shù)是y=
1
4
x2+2x．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-
1
2
x2+bx+4上有不同的兩點E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線y=-
1
2
x2+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

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如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸的一個交點A（3，0）．
（1）你一定能分別求出這條拋物線與x軸的另一個交點B及與y軸的交點C的坐標，試試看；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，請在圖中畫出拋物線的草圖．若點E（-2，n）在直線BC上，試判斷E點是否在經(jīng)過D點的反比例函數(shù)的圖象上，把你的判斷過程寫出來；
（3）請設(shè)法求出tan∠DAC的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2-（m-1）x+m2-6交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B（0，3），頂點C位于第二象限，連接AB，AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是y軸正半軸上一點，且在B點上方，若∠DCB=∠CAB，請你猜想并證明CD與AC的位置關(guān)系；
（3）設(shè)與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā)，沿x軸負方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

一拱橋，橋下的水面寬AB=20米，拱高4米，若水面上升3米至EF時，水面寬EF應是多少米？
（1）若你將該拱橋當作拋物線，請你在坐標系中畫出該拱橋，并用函數(shù)的知識來求出EF的長．
（2）若你將拱橋看作圓的一部分，請你用圓的有關(guān)知識畫圖，并解答．
（3）從中你得到什么啟示．（用一句話回答．）

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y1=
1
2
x2-x+1，點F（1，1）．
（I）求拋物線C1的頂點坐標；
（II）①若拋物線C1與y軸的交點為A，連接AF，并延長交拋物線C1于點B，求證：
1
AF
+
1
BF
=2．
②取拋物線C1上任意一點P（xP，yP）（0＜xP＜1），連接PF，并延長交拋物線C1于Q（xQ，yQ）．試判斷
1
PF
+
1
QF
=2是否成立？請說明理由；
（III）將拋物線C1作適當?shù)钠揭疲脪佄锞�C2：y2=
1
2
(x-h)2，若2＜x≤m時，y2≤x恒成立，求m的最大值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

某租憑公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加1輛．租出的車每月需維護費150元，未租出的車每月需維護費50元．
（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出______輛車（直接填寫答案）；
（2）設(shè)每輛車的月租金為x（x≥3000）元，用含x的代數(shù)式填空：
（3）每輛車的月租金定為多少元時，租憑公司的月收益最大，最大月收益是多少元？
為租出的車輛數(shù)租出的車輛
所有未租出的車每月的維護費租出的車每輛的月收益

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：已知拋物線y=
1
4
x2+
3
2
x-4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O為坐標原點．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上，頂點F，G分別在線段BC，AC上，設(shè)OD=m，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并指出m的取值范圍；
（3）當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接對角線DF并延長至點M，使FM=
2
5
DF．試探究此時點M是否在拋物線上，請說明理由．

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某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱售價在40元至70元之間．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱以50元銷售，平均每天可銷售90箱，價格每降低1元，平均每天多銷售3箱，價格每升高l元，平均每天少銷售3箱．
（1）寫出平均每天銷售量y（箱）與每箱售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．（注明范圍）
（2）求出商場平均每天銷售這種牛奶的利潤W（元），與每箱牛奶的售價x（元）之間的二次函數(shù)關(guān)系式．（每箱的利潤=售價-進價）
（3）求出（2）中二次函數(shù)圖象的頂點坐標，并求當x=40，70時W的值．在給出的坐標系中畫出函數(shù)圖象的草圖．
（4）由函數(shù)圖象可以看出，當牛奶售價為多少時，平均每天的利潤最大？最大利潤為多少？

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