Question

已知拋物線C1：y1=

1

2

x2-x+1，點(diǎn)F（1，1）．
（I）求拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）①若拋物線C₁與y軸的交點(diǎn)為A，連接AF，并延長(zhǎng)交拋物線C₁于點(diǎn)B，求證：

1

AF

+

1

BF

=2．
②取拋物線C₁上任意一點(diǎn)P（x_P，y_P）（0＜x_P＜1），連接PF，并延長(zhǎng)交拋物線C₁于Q（x_Q，y_Q）．試判斷

1

PF

+

1

QF

=2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（III）將拋物線C₁作適當(dāng)?shù)钠揭疲�得拋物線C2：y2=

1

2

(x-h)2，若2＜x≤m時(shí)，y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

（I）∵y₁=

1

2

x²-x+1=

1

2

（x-1）²+

1

2

，
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1

2

）；

（II）①證明：根據(jù)題意得：點(diǎn)A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x軸，得AF=BF=1，
∴

1

AF

+

1

BF

=2；

②

1

PF

+

1

QF

=2成立．
理由：
如圖，過(guò)點(diǎn)P（x_p，y_p）作PM⊥AB于點(diǎn)M，
則FM=1-x_p，PM=1-y_p，（0＜x_p＜1），
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF²=FM²+PM²=（1-x_p）²+（1-y_p）²，
又點(diǎn)P（x_p，y_p）在拋物線C₁上，
得y_p=

1

2

（x_p-1）²+

1

2

，即（x_p-1）²=2y_p-1，
∴PF²=2y_p-1+（1-y_p）²=y_p²，
即PF=y_p，
過(guò)點(diǎn)Q（x_Q，y_Q）作QN⊥AB，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，
同理可得：QF=y_Q，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴

PF

QF

=

PM

QN

，
這里PM=1-y_p=1-PF，QN=y_Q-1=QF-1，
∴

PF

QF

=

1-PF

QF-1

，
即

1

PF

+

1

QF

=2；

（III）令y₃=x，
設(shè)其圖象與拋物線C₂交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，
∵拋物線C₂可以看作是拋物線y=

1

2

x²左右平移得到的，
觀察圖象，隨著拋物線C₂向右不斷平移，x₀，x₀′的值不斷增大，
∴當(dāng)滿足2＜x≤m，y₂≤x恒成立時(shí)，m的最大值在x₀′處取得．
可得：當(dāng)x₀=2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的x₀′即為m的最大值．
于是，將x₀=2代入

1

2

（x-h）²=x，
有

1

2

（2-h）²=2，
解得：h=4或h=0（舍去），
∴y₂=

1

2

（x-4）²．
此時(shí)，由y₂=y₃，得

1

2

（x-4）²=x，
解得：x₀=2，x₀′=8，
∴m的最大值為8．