Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O， BC是⊙O 的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的定點(diǎn)，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，DG∥BC，交AC延長線于點(diǎn)G.

（1）求證：DG與⊙O相切；

（2）作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，試判斷線段BE，CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(不用尺規(guī)作圖的方法補(bǔ)全圖形).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE＝CF+EF，理由見解析。

【解析】

（1）由AD平分∠BAC得到，再由垂徑定理可得DO⊥BC，并進(jìn)一步得出DG與⊙O相切；

（2）作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，連接BD,CD.先證明△BDE≌△DCF，再由全等三角形的性質(zhì)可得出BE＝CF+EF.因點(diǎn)A是⊙O上的定點(diǎn)，故只需考慮圖中情況，不用考慮BE＝CF-EF時(shí)的情況.

（1）證明：如圖，連接DO并延長到圓上一點(diǎn)N

∵AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠DAC，

∴DO⊥BC，
∵DG∥BC，
∴∠GDO=90°，
∴DG與⊙O相切；

（2）BE＝CF+EF，理由如下：

如圖，作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，連接BD,CD.

∴∠BED=∠DFC=90°

∵BC是直徑，，

∴BD=CD, ∠BDC=90°,

∴∠BDE=∠DCF

在△BDE和△DCF中，

∴△BDE≌△DCF（AAS）

∴DE＝CF，BE＝DF

∵DF＝DE+EF

∴BE＝CF+EF