【題目】如圖,△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形,底邊BC、CE、EG在同一直線上,且AB= ,BC=1,連結(jié)BF,分別交AC、DC、DE于點P、Q、R.
(1)求證:△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)已知三個全等的等腰三角形,以及邊長,所以可求得各線段的長,即可求得線段的比值,由公共角即可證得△BFG∽△FEG;
(2)過F作FH⊥BG于H,則∠FHG=90°,由等腰三角形的性質(zhì)得出,由勾股定理得:,由相似三角形的性質(zhì)得出∠BFG=∠FEG=∠G,得出BF=BG=3BC=3,再由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果.
解:(1)依題可得:
BC=CE=EG=1,FG=AB=,
∴BG=3,
在△BFG和△FEG中,
∵,∠G=∠G,
∴△BFG∽△FEG.
(2)過點F作FH⊥BG于點H,如圖,
,
則∠FHG=90°,
∵△FEG是等腰三角形,EG=1,
∴,
∴FH= ,
∵△BFG∽△FEG,
∴∠BFG=∠FEG=∠G,
∴BF=BG=3BC=3,
在Rt△FBH中,
∴sin∠FBG=.
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【題目】如圖1,點A在x軸上,OA=4,將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.
(1)求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的函數(shù)解析式;
(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P使得以P、O、B三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3 )如圖2,OC=4,⊙A的半徑為2,點M是⊙A上的一個動點,求MC+OM的最小值.
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【題目】如圖,D是△ABC的BC邊上一點,連接AD,作△ABD的外接圓,將△ADC沿直線AD折疊,點C的對應(yīng)點E落在⊙O上.
(1)求證:AE=AB.
(2)填空:
①當(dāng)∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2時,邊BC的長為 .
②當(dāng)∠BAE= 時,四邊形AOED是菱形.
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【題目】如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠A=60°,點M、N是邊AB、BC上的動點,若△DMN為等邊三角形,點M、N不與點A、B、C重合,則△BMN面積的最大值是_____.
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【題目】如圖,⊙O的半徑為4,A,B,C,D是⊙O上的四點,過點C,D的切線CH,DG相交于點M,點P在弦AB上,PE∥BC交AC于點E,PF∥AD于點F,當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時,PE+PF的值是( )
A. 4B. 2 C. 4 D. 不確定
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【題目】如圖所示,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(2,4),B(﹣4,n)兩點.
(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)過點B作BC⊥x軸,垂足為點C,連接AC,求△ACB的面積.
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【題目】如圖①,在正方形ABCD中,點P沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動:同時點Q沿邊AB,BC從點A開始向點C以acm/s的速度移動,當(dāng)點P移動到點A時,P,Q同時停止移動.設(shè)點P出發(fā)x秒時,△PAQ的面積為ycm2,y與x的函數(shù)圖象如圖②,線段EF所在的直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣4x+21,則a的值為( )
A. 1.5B. 2C. 3D. 4
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O, BC是⊙O 的直徑,點A是⊙O上的定點,AD平分∠BAC交⊙O于點D,DG∥BC,交AC延長線于點G.
(1)求證:DG與⊙O相切;
(2)作BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,試判斷線段BE,CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論(不用尺規(guī)作圖的方法補全圖形).
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【題目】某校開設(shè)了“3D”打印、數(shù)學(xué)史、詩歌欣賞、陶藝制作四門校本課程,為了解學(xué)生對這四門校本課程的喜愛情況,對學(xué)生進行了隨機問卷調(diào)查(問卷調(diào)查表如圖所示),將調(diào)查結(jié)果整理后繪制例圖1、圖2兩幅均不完整的統(tǒng)計圖表.
校本課程 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 36 | 0.45 |
B |
| 0.25 |
C | 16 | b |
D | 8 |
|
合計 | a | 1 |
請您根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的a= ,b= ;
(2)“D”對應(yīng)扇形的圓心角為 度;
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請您估計該校2000名學(xué)生中最喜歡“數(shù)學(xué)史”校本課程的人數(shù);
(4)小明和小亮參加校本課程學(xué)習(xí),若每人從“A”、“B”、“C”三門校本課程中隨機選取一門,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求兩人恰好選中同一門校本課程的概率.
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