Question

【題目】如圖，拋物線（，為常數(shù)且）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸平行，且與交于點(diǎn)，（在的右側(cè)），與的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)．

（1）用表示及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）的值是否是定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求的值及點(diǎn)，的坐標(biāo)；

（4）當(dāng)時(shí)，設(shè)的外心為點(diǎn)，則

①求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)在的對(duì)稱軸上，其縱坐標(biāo)為，且滿足，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是，定值為2；（3），，；（4）①；②或．

【解析】

（1）首先根據(jù)題意將點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出，然后將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，最后將代入，由此即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）首先利用拋物線的對(duì)稱性得出，然后進(jìn)一步根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)得出PF=1，最后通過進(jìn)一步化簡(jiǎn)變形求解即可；

（3）根據(jù)“直線經(jīng)過點(diǎn)”列出方程，然后結(jié)合拋物線的開口方向所判斷出的將原方程化簡(jiǎn)為，由此解出方程，結(jié)合題意分別表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再代入直線的解析式求出的值，由此進(jìn)一步求解即可得出答案；

（4）①根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可知，的對(duì)稱軸就是的垂直平分線，由此得出的外心就在直線上，則有，據(jù)此進(jìn)一步設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，再結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)建立方程，求出的值，從而即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；②結(jié)合題意可得點(diǎn)Q(1，)，然后利用C、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出半徑，由此進(jìn)一步得出，最后根據(jù)題意進(jìn)一步分析討論即可.

（1）把點(diǎn)C(，0)代入拋物線，得：

，

∴．

∴拋物線L解析式為：，

頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，)；

（2）是定值，

根據(jù)圖像，由拋物線的軸對(duì)稱性，可知，

又∵拋物線L的對(duì)稱軸為，故，

∴；

（3）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有，

化簡(jiǎn)得，，

∵根據(jù)拋物線開口向上可知，

∴，

解得：，，

∵B在的右側(cè)，對(duì)稱軸為，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：(4，)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，

把點(diǎn)代入直線，得，解得，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，B點(diǎn)坐標(biāo)為：(4，)；

（4）

①根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可知，的對(duì)稱軸就是的垂直平分線，

故的外心就在直線上，則有．

∴設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，由（3）可知A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，及C點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，

∴，

即，解得，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

②或．

如圖，對(duì)于點(diǎn)Q(1，)，若，

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得點(diǎn)為與的交點(diǎn)，

∵N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，

∴的半徑為，

則；

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，若，

則．

綜上，若點(diǎn)滿足，則有或．