Question

（2012•鎮(zhèn)江模擬）如圖，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于原點(diǎn)O，兩直角邊與拋物線y=x²交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為m、n（m＞0，n＜0）；請解答下列問題：
（1）當(dāng)m=1時(shí)，n=

-1

；當(dāng)m=2時(shí)，n=

-

1

2

．試猜想m與n滿足的關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．
（2）連接M、N，若△OMN的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，恰好使得∠MNO=30°，此時(shí)過M作MA⊥x軸，垂足為A，求出△OMA的面積．
（4）當(dāng)m=2時(shí)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P使M、N、O、P四點(diǎn)構(gòu)成梯形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的長度對應(yīng)成比例列式計(jì)算即可得解；過點(diǎn)N作NB⊥x軸，垂足為B，根據(jù)同角的余角相等求出∠BON=∠AMO，然后證明△OMA和△NOB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得到m、n的關(guān)系式，從而得到證明；
（2）根據(jù)△OMN的面積=梯形ABNM的面積-△BON的面積-△AOM的面積，列式整理即可得解；
（3）根據(jù)∠MNO的余切值求出

NO

OM

，再根據(jù)△OMA和△NOB相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出m、n的關(guān)系，然后把m•n=-1代入消掉n，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（4）先求出M、N的坐標(biāo)，然后求出直線ON、MN、OM的解析式，然后分①M(fèi)P∥ON時(shí)，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②OP∥MN時(shí)，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；③NP∥OM時(shí)，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n²），
所以，

1

1

=

n2

-n

，
解得n=-1；
當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n²），
所以，

2

4

=

n2

-n

，
解得n=-

1

2

；
猜想：m與n滿足的關(guān)系：m•n=-1．
證明：作NB⊥x軸，垂足為B，∵∠MON=90°，
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°，
∵∠AOM+∠AMO=90°，
∴∠BON=∠AMO，
又∵∠OAM=∠NBO=90°，
∴△OMA∽△NOB，
∵M(jìn)（m，m²） N（n，n²），
∴

AM

OA

=

ON

BN

，
即

m2

m

=

-n

n2

，
整理得：m•n=-1；

（2）S_△OMN=S_梯形ABNM-S_△BON-S_△AOM=

(m2+n2)(m-n)

2

-

-n3

2

-

m3

2

，
=

mn(n-m)

2

，
=

m-n

2

，
=

m+ 1 m

2

，
=

m2+1

2m

；

（3）∵∠MNO=30°，
∴cot∠MNO=cot30°=

NO

OM

，
即

NO

OM

=

3

，
又∵△OMA∽△NOB（已證），
∴

n2

m

=

3

，
將m•n=-1代入得m³=

3

3

，
∴△OMA的面積=

1

2

m•m²=

1

2

m³=

3

6

；

（4）當(dāng)m=2時(shí)，∵點(diǎn)M在拋物線y=x²上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），
n=-

1

m

=-

1

2

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

1

2

，

1

4

），
所以，直線ON的解析式為y=-

1

2

x，OM的解析式為y=2x，
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 - 1 2 k+b= 1 4

，
解得

k= 3 2 b=1

，
所以，直線MN的解析式為y=

3

2

x+1，
①M(fèi)P∥ON時(shí)，設(shè)直線MP的解析式為y=-

1

2

x+e，
則-

1

2

×2+e=4，
解得e=5，
所以，直線MP的解析式為y=-

1

2

x+5，
聯(lián)立

y=- 1 2 x+5 y=x2

，
解得

x1=2 y1=4

（為點(diǎn)M），

x2=- 5 2 y2= 25 4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

2

，

25

4

）；
②OP∥MN時(shí)，OP的解析式為y=

3

2

x，
聯(lián)立

y= 3 2 x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

（為點(diǎn)O），

x2= 3 2 y2= 9 4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

4

）；
③NP∥OM時(shí)，設(shè)直線NP解析式為y=2x+f，
則2×（-

1

2

）+f=

1

4

，
解得f=

5

4

，
所以，直線NP的解析式為y=2x+

5

4

，
聯(lián)立

y=2x+ 5 4 y=x2

，
解得

x1=- 1 2 y1= 1 4

（為點(diǎn)N），

x2= 5 2 y2= 25 4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，

25

4

），
可以證明，以上三種情況底邊都不相等，都是梯形，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

2

，

25

4

）或（

3

2

，

9

4

）或（

5

2

，

25

4

）時(shí)，M、N、O、P四點(diǎn)構(gòu)成梯形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積求解，梯形的兩底邊平行的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，（4）要分△OMN的三邊分別是梯形的底邊的情況進(jìn)行討論求解，比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．