(2012•鎮(zhèn)江模擬)如圖,將一把直角三角板的直角頂點放置于原點O,兩直角邊與拋物線y=x2交于M、N兩點,設(shè)M、N的橫坐標分別為m、n(m>0,n<0);請解答下列問題:
(1)當m=1時,n=
-1
-1
;當m=2時,n=
-
1
2
-
1
2
.試猜想m與n滿足的關(guān)系,并證明你猜想的結(jié)論.
(2)連接M、N,若△OMN的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到某一位置時,恰好使得∠MNO=30°,此時過M作MA⊥x軸,垂足為A,求出△OMA的面積.
(4)當m=2時,拋物線上是否存在一點P使M、N、O、P四點構(gòu)成梯形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)點M、N的坐標的橫坐標與縱坐標的長度對應成比例列式計算即可得解;過點N作NB⊥x軸,垂足為B,根據(jù)同角的余角相等求出∠BON=∠AMO,然后證明△OMA和△NOB相似,根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到m、n的關(guān)系式,從而得到證明;
(2)根據(jù)△OMN的面積=梯形ABNM的面積-△BON的面積-△AOM的面積,列式整理即可得解;
(3)根據(jù)∠MNO的余切值求出
NO
OM
,再根據(jù)△OMA和△NOB相似,利用相似三角形對應邊成比例列式求出m、n的關(guān)系,然后把m•n=-1代入消掉n,再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解;
(4)先求出M、N的坐標,然后求出直線ON、MN、OM的解析式,然后分①MP∥ON時,根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式,再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標;②OP∥MN時,根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式,再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標;③NP∥OM時,根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式,再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標.
解答:解:(1)當m=1時,點M的坐標為(1,1),點N的坐標為(n,n2),
所以,
1
1
=
n2
-n
,
解得n=-1;
當m=2時,點M的坐標為(2,4),點N的坐標為(n,n2),
所以,
2
4
=
n2
-n

解得n=-
1
2
;
猜想:m與n滿足的關(guān)系:m•n=-1.
證明:作NB⊥x軸,垂足為B,∵∠MON=90°,
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°,
∵∠AOM+∠AMO=90°,
∴∠BON=∠AMO,
又∵∠OAM=∠NBO=90°,
∴△OMA∽△NOB,
∵M(m,m2) N(n,n2),
AM
OA
=
ON
BN

m2
m
=
-n
n2
,
整理得:m•n=-1;

(2)S△OMN=S梯形ABNM-S△BON-S△AOM=
(m2+n2)(m-n)
2
-
-n3
2
-
m3
2

=
mn(n-m)
2
,
=
m-n
2
,
=
m+
1
m
2
,
=
m2+1
2m
;

(3)∵∠MNO=30°,
∴cot∠MNO=cot30°=
NO
OM
,
NO
OM
=
3

又∵△OMA∽△NOB(已證),
n2
m
=
3
,
將m•n=-1代入得m3=
3
3
,
∴△OMA的面積=
1
2
m•m2=
1
2
m3=
3
6


(4)當m=2時,∵點M在拋物線y=x2上,
∴點M的坐標為(2,4),
n=-
1
m
=-
1
2
,
∴點N的坐標為(-
1
2
,
1
4
),
所以,直線ON的解析式為y=-
1
2
x,OM的解析式為y=2x,
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,
2k+b=4
-
1
2
k+b=
1
4

解得
k=
3
2
b=1
,
所以,直線MN的解析式為y=
3
2
x+1,
①MP∥ON時,設(shè)直線MP的解析式為y=-
1
2
x+e,
則-
1
2
×2+e=4,
解得e=5,
所以,直線MP的解析式為y=-
1
2
x+5,
聯(lián)立
y=-
1
2
x+5
y=x2

解得
x1=2
y1=4
(為點M),
x2=-
5
2
y2=
25
4

所以,點P的坐標為(-
5
2
25
4
);
②OP∥MN時,OP的解析式為y=
3
2
x,
聯(lián)立
y=
3
2
x
y=x2

解得
x1=0
y1=0
(為點O),
x2=
3
2
y2=
9
4

所以,點P的坐標為(
3
2
,
9
4
);
③NP∥OM時,設(shè)直線NP解析式為y=2x+f,
則2×(-
1
2
)+f=
1
4
,
解得f=
5
4
,
所以,直線NP的解析式為y=2x+
5
4
,
聯(lián)立
y=2x+
5
4
y=x2

解得
x1=-
1
2
y1=
1
4
(為點N),
x2=
5
2
y2=
25
4

所以,點P的坐標為(
5
2
25
4
),
可以證明,以上三種情況底邊都不相等,都是梯形,
綜上所述,點P的坐標為(-
5
2
25
4
)或(
3
2
,
9
4
)或(
5
2
,
25
4
)時,M、N、O、P四點構(gòu)成梯形.
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積求解,梯形的兩底邊平行的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析,聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標,(4)要分△OMN的三邊分別是梯形的底邊的情況進行討論求解,比較復雜,計算時要認真仔細.
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(2)填空:C點的坐標是
(1,1)
(1,1)
,△ABC的面積是
4
4
;
(3)請?zhí)骄浚涸趚軸上是否存在這樣的點P,使以點A、B、P為頂點的三角形的面積等于△ABC的面積?若存在,請直接寫出點P的坐標(可以在網(wǎng)格外);若不存在,說明理由.

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3
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1.35×109
1.35×109
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