Question

如圖，△ABC中，BA=BC=10，AC=12，∠ABC、∠BAC的角平分線交于I點，求線段AI的長．

Answer 1

解：延長BI交AC于D，過I作IE⊥AB于E．
∵BA=BC，BI平分∠ABC，
∴ID⊥AC，AD=DC=6，
∵AI平分∠BAC，
∴IE=ID，
∴△AID≌△AIE（HL），
∴AE=AD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD==8，
設(shè)ID=x，則BI=8-x，
∵BE=AB-AE=4，
在Rt△IEB中由勾股定理得4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
在Rt△IEA中由勾股定理得AI==．
分析：延長BI交AC于D，過I作IE⊥AB于E．根據(jù)角平分線的性質(zhì)和公共邊可證△AID≌△AIE（HL），由全等三角形的性質(zhì)可得AE=AD=6，再運用勾股定理即可求得線段AI的長．
點評：本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度中等．