Question

如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△AEP與△BPQ是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，設(shè)△PEQ的面積為Scm²，請(qǐng)用t的代數(shù)式表示S；
（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)

y=xy 3=4-y

P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

分析：（1）本題很容易證明△AEP≌△BPQ，這樣可得出∠AEP=∠BPQ，因?yàn)椤螦EP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，這即可判斷出結(jié)論．
（2）可分別用t表示出AP、BQ、BP、CQ的長(zhǎng)度，然后用矩形的面積減去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面積即可得出△PEQ的面積為Scm²．
（3）設(shè)Q運(yùn)動(dòng)的速度為xcm/s，則根據(jù)△AEP與△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，從而可列出方程組，解出即可得出答案．

解答：解：（1）∵長(zhǎng)方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=6cm，
∴AE=3cm，
又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，
∴AE=BP，
在△AEP和△BQP中，

AP=BQ ∠A=∠B AE=BP

，
∴△AEP≌△BPQ，
∴∠AEP=∠BPQ，
又∵∠AEP+∠APE=90°，
故可得出∠BPQ+∠APE=90°，即∠EPQ=90°，
即EP⊥PQ．

（2）連接QE，由題意得：AP=BQ=t，BP=4-t，CQ=6-t，
S_PEQ=S_ABCD-S_BPQ-S_EDCQ-S_APE
=AD×AB-

1

2

AE×AP-

1

2

BP×BQ-

1

2

（DE+CQ）×CD
=24-

1

2

×3t-

1

2

t（4-t）-

1

2

×4（3+6-t）
=

t2

2

-

3

2

t+6．

（3）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，
①經(jīng)過(guò)y秒后，△AEP≌△BQP，則AP=BP，AE=BQ，
∴

y=4-y 3=xy

，
解得：

x= 3 2 y=2

，
即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

3

2

cm/s時(shí)能使兩三角形全等．
②經(jīng)過(guò)y秒后，△AEP≌△BPQ，則AP=BQ，AE=BP，
∴

y=xy 3=4-y

，
解得：

x=1 y=1

，
即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s時(shí)能使兩三角形全等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，涉及了動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題使本題的難度加大了，解答此類題目時(shí)，要注意將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)用時(shí)間t和速度的乘積當(dāng)作線段的長(zhǎng)度來(lái)看待，這樣就能利用幾何知識(shí)解答代數(shù)問(wèn)題了．