【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(l)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.
(2)性質(zhì)探宄:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證)
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.
【答案】(1)四邊形ABCD是垂美四邊形,理由見解析;(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等,過程見解析;(3)GE=
【解析】試題分析:(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理可得,直線AC是線段BD的垂直平分線,結(jié)論得證;
(2)根據(jù)垂直的定義可得∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,進而得到答案;
(3)連接CG、BE,由題意易得△GAB≌△CAE,可知∠ABG=∠AEC,進而得到四邊形BCGE是垂美四邊形;接下來根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及(2)的結(jié)論進行計算求解,即可完成解答.
試題解析:
解:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.
證明:∵AB=AD,
∴點A在線段BD的垂直平分線上,
∵CB=CD,
∴點C在線段BD的垂直平分線上,
∴直線AC是線段BD的垂直平分線,
∴AC⊥BD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;
(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.
如圖2,已知四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為E,
求證:AD2+BC2=AB2+CD2
證明:∵AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)連接CG、BE,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,
,
∴△GAB≌△CAE,
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,
∴四邊形CGEB是垂美四邊形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=4,AB=5,
∴BC=3,CG=4,BE=5,
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73,
∴GE=.
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【題目】下列運算中,正確的是( )
A. x3x3=x6 B. 3x2+2x3=5x5 C. (x2)3=x5 D. (ab)3=a3b
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【題目】將拋物線y=2x2向右平移3個單位,再向下平移5個單位,得到的拋物線的表達式為( )
A.y=2(x﹣3)2﹣5
B.y=2(x+3)2+5
C.y=2(x﹣3)2+5
D.y=2(x+3)2﹣5
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【題目】某電腦公司銷售部為了定制下個月的銷售計劃,對20位銷售員本月的銷售量進行了統(tǒng)計I繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖,則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是( )
A. 19,20,14 B. 18.4,20,20 C. 19, 20, 20 D. 18.4,25,20
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.
(1)用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點D,使D到AB的距離等于CD.
(2)計算(1)中線段CD的長.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當△BEC面積最大時,請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?
(3)在(2)的結(jié)論下,過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
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