Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，AD=9，AC=12，BC=16，點E是邊BC上一個動點，∠EAF=∠BAC，AF交CD于點F、交BC延長線于點G，設(shè)BE=x．
（1）使用x的代數(shù)式表示FC；
（2）設(shè)

FG

EF

=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）當△AEG是等腰三角形時，直線寫出BE的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題,分類討論,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）易證△ABC∽△DCA，則有∠B=∠ACD，由∠EAF=∠BAC可得∠BAE=∠CAF，從而得到△ABE∽△ACF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2））由△ABE∽△ACF可得

AB

AC

=

AE

AF

，根據(jù)∠EAF=∠BAC可得△AEF∽△ABC，從而得到EF=

4

3

AF．易證△CFG∽△DFA，從而得到

FG

FA

=

CF

DF

，問題得以解決；
（3）易證△ADF∽△GAE，因而當△GAE是等腰三角形時，△ADF也是等腰三角形，然后只需分三種情況（①AF=DF，②AD=DF，③AF=AD，）討論，就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°．
∵AD=9，AC=12，BC=16，
∴AB=20，DC=15．
∵

BC

AC

=

AC

AD

=

4

3

，∠DAC=∠ACB，
∴△ABC∽△DCA，
∴∠B=∠ACD．
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴

AB

AC

=

BE

CF

，
∴

20

12

=

x

CF

，
∴CF=

3

5

x；

（2）∵△ABE∽△ACF，
∴

AB

AC

=

AE

AF

，
又∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

AF

=

BC

AC

=

16

12

=

4

3

，
∴EF=

4

3

AF．
∵AD∥CG，
∴△CFG∽△DFA，
∴

FG

FA

=

CF

DF

，
∴y=

FG

EF

=

FG

4 3 AF

=

3

4

•

CF

DF

=

3

4

•

3 5 x

15- 3 5 x

，
整理得：y=

3x

100-4x

（0＜x≤16）；

（3）當△AEG是等腰三角形時，BE的長為

25

2

、10或7．
解題過程如下：
∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC=∠D，
∴∠EAF=∠BAC=∠D．
∵AD∥BC，∴∠G=∠FAD，
∴△ADF∽△GAE，
∴當△GAE是等腰三角形時，△ADF也是等腰三角形．
①當AF=DF時，
則有∠FAD=∠D，
∵∠FAD+∠CAF=90°，∠D+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠ACD，
∴FA=FC，
∴CF=DF=

15

2

，
∴

3

5

x=

15

2

，
∴x=

25

2

；
②當AD=DF=9時，CF=CD-DF=6，
∴

3

5

x=6，
∴x=10；
③當AF=AD=9時，
作AH⊥DF于H，如圖2，
則有DH=FH．
∵S_△CAD=

1

2

AC•AD=

1

2

CD•AH，
∴AH=

AC•AD

CD

=

36

5

，
∴FH=DH=

AD2-AH2

=

27

5

，
∴

3

5

x=15-2×

27

5

，
∴x=7．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，在解決問題的過程中用到了面積法、分類討論的思想，有一定的難度，證到△ABE∽△ACF是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到△AEF∽△ABC，從而得到EF=

4

3

AF是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到△ADF∽△GAE，從而把△GAE是等腰三角形轉(zhuǎn)化為△ADF是等腰三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．