Question

如圖：四邊形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．試探索以AB、BC、BD為邊，能否組成直角三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：先以BC為邊作等邊△BCE，連接AE、AC，由于AC=CD，∠ACF=∠DCB，CB=CF，利用SAS易證△DCB≌△ACE，那么AE=CB，而△ABE是直角三角形，根據(jù)勾股定理有AB²+BE²=AE²，等量代換可得AB²+BC²=BD²．

解答：證明：以BC為邊作等邊△BCE，連接AE、AC．如右圖所示．
∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²①，
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
在△DCB和△ACE中，DC=AC，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，
又∵BC=CE，
∴△DCB≌△ACE，
∴BD=AE，
∵BC=BE，
由①式，可得BD²=AB²+BC²．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線，并證明△DCB≌△ACE．