Question

【題目】 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)N為邊BC上不與B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥BC交AD于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)E，以MN為對(duì)稱(chēng)軸折疊矩形ABNM，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是G、F，連接EF、DF，若AB=6，BC=8，當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，CN的長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

△DEF為直角三角形時(shí)，可能出現(xiàn)三種情況，分別令不同的內(nèi)角為直角，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

解：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴BD==10，

由折疊得：BE=EF，BN=NF，∠EBF=∠EFB，∠BEN=∠FEN，

當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，

（1）當(dāng)∠DEF=90°，則∠BEN=∠FEN=45°，不合題意；

（2）當(dāng)∠EFD=90°時(shí)，如圖1所示：

∵∠EFN+∠DFC=90°，∠DFC+∠CDF=90°，

∴∠EFN=∠CDF=∠EBN，

∵tan∠DBC===tan∠CDF=

設(shè)CN=x，則BN=NF=8-x，FC=x-（8-x）=2x-8，

∴=

解得：x=，即CN=．

（3）當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，如圖2所示：

易證△BDC∽△DFC，

∴CD2=BCCF

設(shè)CN=x，則BN=NF=8-x，FC=（8-x）-x=8-2x，

∴62=8（8-2x）

解得：x=，即CN=，

綜上所述，CN的長(zhǎng)為或．

故答案為：或．