某“研究性學(xué)習(xí)小組”遇到了以下問題，請參與：
已知，△ABC是等邊三角形且內(nèi)接于⊙O，取
AB
上異于A、B的點M．設(shè)直線CA與BM相交于點K，直線CB與AM相交于點N．
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（1）如圖1，圖2，圖3，M分別為
AB
的中點、三分之一點、四分之一點，△ABC的邊長均為2，分別測量出AK、BN的長，計算AK•BN的值（精確到0.01）并將結(jié)果填入下表中：
  △ABC的邊長  AK•BN的值 
 圖1 2   
 圖2  2  
 圖3  2  
（2）如圖4，當(dāng)M為
AB
上任意一點時，根據(jù)（1）的結(jié)果，猜想AK•BN與AB的數(shù)量關(guān)系式為
 
；
（3）對（2）中提出的猜想，依圖4給出證明．
分析：本題要求的實際是AK、BN與等邊三角形ABC邊長的關(guān)系．可通過證△AKB與△BAN相似來求解．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）4，4，4

（2）AK•BN=AB2

（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴
AK
AB
=
AB
BN

∴AK•BN=AB2．
點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識點．根據(jù)圓周角定理得出角相等從而證得三角形相似是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（①?②?③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．
（1）該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN2=BN2+CD2，請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說明理由．

（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（3）將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之間所滿足的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

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23、某研究性學(xué)習(xí)小組，為了了解某校七年級學(xué)生一天中做家庭作業(yè)所用的大致時間（時間以整數(shù)記．單位：分），對本校的初一學(xué)生做了抽樣調(diào)查，并把調(diào)查得到的所有數(shù)據(jù)（時間）進行整理，分成五個時間段，繪制成統(tǒng)計圖（如圖），請結(jié)合統(tǒng)計圖中提供的信息，回答下列問題．
（1）這個研究性學(xué)習(xí)小組所抽取的學(xué)生有多少人？
（2）在被調(diào)查的學(xué)生中，一天做家庭作業(yè)所用的大致時間超過120分（不包括120分）的人數(shù)占被調(diào)查學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分之幾？
（3）在右邊的頻數(shù)直方圖中畫出折線圖．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、某研究性學(xué)習(xí)小組，為了了解本校八年級學(xué)生一天中做家庭作業(yè)所用的大致時間（時間以整數(shù)記，單位：分鐘），對本年級同學(xué)做了抽樣調(diào)查，并整理繪制成直方圖如圖所示．
請按圖中提供的信息回答下列問題．
（1）所抽取的樣本容量是多少？
（2）在被調(diào)查的學(xué)生中，一天做家庭作業(yè)所用的大致時間超過120分鐘的人數(shù)占被調(diào)查學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分之幾？

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“校園手機”現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注，某研究性學(xué)習(xí)小組隨機調(diào)查了某區(qū)若干名學(xué)生和家長對中學(xué)生帶手機現(xiàn)象的看法，統(tǒng)計整理并制作了如下的統(tǒng)計圖：
（1）求這次被調(diào)查的家長人數(shù)，并補全圖（a）；
（2）求圖（b）中表示家長“反對”的扇形圓心角的度數(shù)：
（3）從這次接受調(diào)查的家長與學(xué)生中，隨機抽查一個，恰好是“無所謂”態(tài)度的概率是多少？
精英家教網(wǎng)

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精英家教網(wǎng)某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD的對角線交點O旋轉(zhuǎn)（如圖所示）．已知AB=8，BC=10，圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．問：是否存在某一旋轉(zhuǎn)位置，使得CM+CN等于
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？若存在，請求出此時DM的長；若不存在，請說明理由．

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